Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=

n2+3n

2

．
（I）（求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足cn=

an，n為奇數(shù) 2n，n為偶數(shù)

，且{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）已知前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式，二者的關(guān)系是a_n=

s1   (n=1) sn-sn-1   (n≥2)

，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立．
（II）由（I）知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求T_n時(shí)用等差數(shù)列的求和公式求奇數(shù)項(xiàng)和，用等比數(shù)列的求和公式求偶數(shù)項(xiàng)和，最后加在一起．應(yīng)分兩種情況求解，注意項(xiàng)數(shù)．

解答：解：（I）∵s_n=

n2+3n

2

∴n≥2時(shí)，an=sn-sn-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1
∵n=1時(shí)，a₁=s₁=2
又∵a₁=S₁=2也滿(mǎn)足上式，∴a_n=n+1（n∈N^*）
（II）∵cn=

n+1   n為奇數(shù) 2n     n為偶數(shù)

∴此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以c₁=2為首項(xiàng)，以d=2為公差的等差數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)是以c₂=4為首項(xiàng)，以q=4為公比的等比數(shù)列；
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是

n

2

項(xiàng)
∴T_n=（c₁+c₃+c_n-1）+（c₂+c₄++c_n）=

n

2

×2+

n 2 ( n 2 -1)

2

× 2+

4( 1-4 n 2 )

1-4

=n+

n

2

（

n

2

-1）+

4(2n-1)

3

=

n(n+2)

4

+

4

3

(2n-1)
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)是

n+1

2

項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)是

n-1

2

項(xiàng)；
∴Tn=

n+1

2

×2+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

× 2+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

(n+1)(n+3)

4

+

4

3

(2n-1-1)
綜上，Tn=

n(n+2) 4 + 4 3 (2n-1)         n為偶數(shù) (n+1)(n+3) 4 + 4 3 (2n-1-1)  n為奇數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合性的題目，考查了前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的之間的關(guān)系，必須驗(yàn)證n=1是否成立，求和時(shí)清楚首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)，兩個(gè)求和公式的運(yùn)用，結(jié)果應(yīng)用分段函數(shù)來(lái)表示，體現(xiàn)出數(shù)列是一種特殊的函數(shù)．