Question

給定直線動圓M與定圓外切且與直線相切．

（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；

（2）設(shè)A、B是曲線C上兩動點（異于坐標(biāo)原點O），若求證直線AB過一定點，并求出定點的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：解：（1）由已知可得：定圓的圓心為（－3，0），且M到（－3，0）的距離比它到直線的距離大1，∴M到（－3，0）的距離等于它到直線的距離，

∴動圓圓心M的軌跡為以F（－3，0）為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，開口向左，

， ∴動圓圓心M的軌跡C的方程為：

（也可以用直接法：，然后化簡即得：）；

（2）方法一：經(jīng)分析：OA,OB的斜率都存在，都不為0，設(shè)OA：，則OB：，

聯(lián)立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,

∴, 即: ,

令,則,∴,∴直線AB與x軸交點為定點，

其坐標(biāo)為。方法二：當(dāng)AB垂直x軸時，設(shè)A，則B，

∵∴，∴

此時AB與x軸的交點為；

當(dāng)AB不垂直x軸時，設(shè)AB：，聯(lián)立和有：

，∴，

∵∴，即：，

∴AB：，此時直線AB與x軸交點為定點，其坐標(biāo)為,

綜上：直線AB與x軸交點為定點，其坐標(biāo)為。

考點：拋物線的方程；

點評：對于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點時，一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式：在一元二次方程中，。