Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，F₁、F₂分別為左、右焦點，橢圓的一個頂點與兩焦點構成等邊三角形，且||=2．
（1）求橢圓方程；
（2）對于x軸上的某一點T，過T作不與坐標軸平行的直線L交橢圓于P、Q兩點，若存在x軸上的點S，使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立，我們稱S為T的一個配對點，當T為左焦點時，求T 的配對點的坐標；
（3）在（2）條件下討論當T在何處時，存在有配對點？

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓的頂點為P，由||=2=2c可得c=1，由PF₁=PF₂=2結合橢圓的定義可得2a，結合b²=a²-c^2可求橢圓的方程
（2）可設過T的直線方程為y=k（x+1），（k≠0），聯立橢圓方程整理可得（3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k_PS=-K_QS即，結合方程的根與系數的關系代入可求a
（3）設T（x，0），直線PQ的方程y=k（x-x），S （a，0），使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立，則T必須在P，Q 之間即-2＜x＜2
同（2）的整理方法，聯立直線與橢圓方程由∠PST=∠QST可得，2x₁x₂-（a+x）（x₁+x₂）+2ax=0，同（2）的方法一樣代入可求
解答：解：（1）設橢圓的頂點為P，由||=2=2c可得c=1
PF₁=PF₂=2可得2a=4
∴a=2，b²=a²-c²=3
橢圓的方程為：
（2）∵T（-1，0），
則過可設過T的直線方程為y=k（x+1），（k≠0），
聯立橢圓方程整理可得（3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S （a，0），則，
∵∠PST=∠QST∴k_PS=-K_QS
∴
∴
整理可得2x₁x₂+（1-a）（x₁+x₂）-2a=0
即
∴a=-4
（3）設T（x，0），直線PQ的方程y=k（x-x），S （a，0）
使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立，則T必須在P，Q 之間即-2＜x＜2
同（2）的整理方法，聯立直線與橢圓方程可得，，
由∠PST=∠QST可得，2x₁x₂-（a+x）（x₁+x₂）+2ax=0
同（2）的方法一樣代入可求a=
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，及直線與橢圓的相交關系的 應用，解題的關鍵是具備一定的邏輯推理與運算的能力．