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          設數(shù)列{bn}{Pn}滿足b1=3，bn=3nPn，且Pn+1=Pn+數(shù)學公式（n∈N*）．
          （1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
          （2）若存在實數(shù)t，使得數(shù)列Cn=（bn-數(shù)學公式）•數(shù)學公式+n成等差數(shù)列，記數(shù)列{Cn•（數(shù)學公式）Cn}的前n項和為Tn，證明：3n•（Tn-1）＜bn；
          （3）設An=數(shù)學公式Tn，數(shù)列{An}的前n項和為Sn，求證Sn＜數(shù)學公式．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				解：（1）由已知得，
          ∴Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=，
          ∴
          上述兩式錯位相減得：
          ∴
          （2）∵，
          ∴當且僅當t=0時，數(shù)列Cn成等差數(shù)列，此時Cn=n（n∈N+）
          ∴
          ∴
          錯位相減得：
          ∵
          ∴3n（Tn-1）＜bn
          （3）=
          由可得
          Sn=A1+A2+A3+…+An
          ==
          分析：（1）由Pn+1=Pn+（n∈N*），利用疊加法得Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=，從而有，上述兩式錯位相減，可得，從而求得數(shù)列{bn}的通項公式；
          （2）由題意得，，再使用錯位相減法求得，從而可以證明；
          （3）將An=Tn，化簡，再進行分組可得，進而分別求和，利用放縮法可以證得．
          點評：本題主要考查疊加法求數(shù)列的通項，考查錯位相減求數(shù)列的和，數(shù)列與不等式的綜合，有一定難度．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設數(shù)列{bn}{Pn}滿足b1=3，bn=3nPn，且Pn+1=Pn+
          n
          3n+1
          （n∈N*）．
          （1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
          （2）若存在實數(shù)t，使得數(shù)列Cn=（bn-
          1
          4
          ）•
          t
          n+1
          +n成等差數(shù)列，記數(shù)列{Cn•（
          1
          2
          ）Cn}的前n項和為Tn，證明：3n•（Tn-1）＜bn；
          （3）設An=
          1
          n(n+1)
          Tn，數(shù)列{An}的前n項和為Sn，求證Sn＜
          5
          2
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0）的導函數(shù)f'（x）=-2x+7，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn（n，Sn）（n∈N+）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
          （1）求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值；
          （2）設數(shù)列bn滿足bn=-
          an
          2
          +7          ，數(shù)列{
          nbn+m
          an?an+1+40n-40
          }          的前n項的和為Tn，當m≥3時，求證：Tn＞
          n
          4
          +
          1
          8
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，a2=6
          （1）對于任意的正自然數(shù)n，設點Pn(an，
          Sn
          n
          -3)          在直線E上，求直線E的方程；
          （2）設數(shù)列{bn}，其中anbn=2，問從{bn}中是否能選出無窮項，按原來的順序排成等比數(shù)列{cn}，使{cn}的各項和等于
          1
          2
          ？若能，請說明理由并求出數(shù)列{cn}的第一項和公比，若不能，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2009-2010學年山東省德州市陵縣一中高三（上）12月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          設數(shù)列{bn}{Pn}滿足b1=3，bn=3nPn，且Pn+1=Pn+（n∈N*）．
          （1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
          （2）若存在實數(shù)t，使得數(shù)列Cn=（bn-）•+n成等差數(shù)列，記數(shù)列{Cn•（）Cn}的前n項和為Tn，證明：3n•（Tn-1）＜bn；
          （3）設An=Tn，數(shù)列{An}的前n項和為Sn，求證Sn＜．
          

			
          

			
          
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