Question

已知各項均為正數的數列滿足，， .

（Ⅰ）求證：數列是等比數列； 

（Ⅱ）當取何值時，取最大值，并求出最大值；

（Ⅲ）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）見解析

（II）當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．

（III）實數的取值范圍是

解析:

（I）∵，，，

     ∴． 即．

又，所以．

∵，

 ∴是以為首項，公比為的等比數列．

（II）由（I）可知 （）．

      ∴．

    ．

 當n=7時，，；

 當n<7時，，；

 當n>7時，，．

∴

當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．

（III）由，得       （*）

依題意（*）式對任意恒成立，

當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．

②當t<0時，由，可知（）．

而當m是偶數時，因此t<0不合題意．

③當t>0時，由（）,

∴   ∴． （）

設     （）

∵ =,

∴．∴的最大值為．

所以實數的取值范圍是．