Question

21. 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若l在點(diǎn)A處穿過(guò)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間［－1,1］,（1,3）內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以＝x²+ax+b=0在［－1,1］,（1,3）內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為x₁、x₂(x₁＜x₂＝,則x₂–x₁=,且0＜x₂-x₁≤4,于是0〈≤4，0〈a²-4b≤16,且當(dāng)x₁＝－1,x₂=3,即a=-2,b=-3時(shí)等號(hào)成立，故a²-4b的最大值是16.

（Ⅱ）解法一　由f′（1）＝1＋a+b知f(x)在點(diǎn)（1,f(1)）處的切線l的方程是

y-f(1)=f′(1)(x-1),即y=(1+a+b)x--a.

因?yàn)榍芯�l在點(diǎn)A（1,f（1））處穿過(guò)y=f(x)的圖象，

所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則x=1不是g(x)的極值點(diǎn).

而g(x)=x³+ax²+bx-(1+a+b)x++a,且

g′(x) =x²+ax+b-(1+a+b)=x²+ax-a-1=(x-1)(x+1+a),

若1≠－1－a,則x=1和x=-1-a都是g(x)的極值點(diǎn).

所以1＝－1－a,即a=-2.又由a²-4b=8,得b=-1,故f(x)= x³–x²–x.

解法二　同解法一得g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]= (x-1)[x²+(1+)x-(2+a)].

因?yàn)榍芯�l在點(diǎn)A（1,f(1)）處穿過(guò)y=f(x)的圖象，所以g(x)在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)。于是存在m₁、m₂(m₁＜1＜m₂),當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，g(x)＜0,當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，g(x)＞0；或當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，g(x)＞0,當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，g(x)＜0.

設(shè)h(x)=x²＋（1＋）x-(2+),則當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，h(x)＞0,當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，h(x)＞0；或當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，h(x)＜0時(shí)，當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，h(x)＜0.

由h(1)=0知x=1是h(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則h′(1)＝2×1＋1＋＝0.所以a=-2.又由a²－4b=8,得b=-1.故f(x) =x³-x²-x.