Question

已知函數(shù)f(x)＝(a、b、c∈N)，f(2)＝2，f(3)＜3且f(x)的圖像按向量e＝(－1，0)平移后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

(Ⅰ)求a、b、c的值；

(Ⅱ)設(shè)0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求證：|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1)|；

(Ⅲ)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：－f(＋1)≥－2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的圖像按e＝(－1，0)平移后得到的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式為 　　f(x＋1)＝ 　　∵函數(shù)f(x)的圖像平移后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 　　∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即 　　∵a∈N，∴＋1＞0，∴－bx＋c＝－bx－c，∴c＝0 　　又∵f(2)＝2，∴＝2，∴a＋1＝2b，∴a＝2b－1　　① 　　又f(3)＝＜3，∴4a＋1＜6b　　② 　　由①，②及a，b∈N，得a＝1，b＝1 　　(Ⅱ)∵|f(tx＋1)|＝|tx＋|＝|tx|＋||≥2＝2， 　　當(dāng)且僅當(dāng)|tx|＝1時(shí)，上式取等號(hào)． 　　但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1， 　　∴|tx|≠1，|f(tx＋1)|＞2 　　S＝ 　　當(dāng)|t|≥|x|時(shí)，S＝4≤4； 　　當(dāng)|t|＜|x|時(shí)，S＝4＜4． 　　∴|t＋x|＋|t－x|≤2＜|f(tx＋1)，即|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1) 　　(Ⅲ)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立． 當(dāng)n≥2時(shí)，