Question

數(shù)列{a_n}中a_n＞0，且由下列條件確定：a1=m＞0，an+1=

1

2

(an+

m

an

)，n∈N*．
（1）證明：對(duì)n≥2，總有an≥

m

；
（2）證明：對(duì)n≥2，總有a_n≥a_n+1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1的表達(dá)形式，結(jié)合基本不等式知識(shí)，可證．
（2）比較大小，常用作差比較，作商比較（項(xiàng)為正時(shí)）

解答：解：（1）證明：由a₁=m＞0，及an+1=

1

2

(an+

m

an

)，a_n＞0
從而有an+1=

1

2

(an+

m

an

)≥

an• m an

=

m

(n∈N)．（4分）
所以，當(dāng)n≥2，總有a_n≥

m

成立．
（2）證法一：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?span>an≥

m

＞0，an+1=

1

2

(an+

m

an

)
所以an+1-an=

1

2

(an+

m

an

)-an=

1

2

•

m- a 2 n

an

≤0，（10分）
故當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≥a_n+1成立．
證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?span>an≥

m

＞0，an+1=

1

2

(an+

m

an

)
所以

an+1

an

=

1 2 (an+ m an )

an

=

a 2 n +m

2 a 2 n

≤

a 2 n + a 2 n

2 2 n

=1
故當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≥a_n+1成立..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題借助于數(shù)列的形式，實(shí)際上主要考查了不等式的基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法．