Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，給出下列結(jié)論①△ABC的邊長(zhǎng)可以組成等差數(shù)列②

AC

•

AB

＜0③

A

7

=

B

5

=

C

3

④若b+c=8，則△ABC的面積是

15 3

4

其中正確的結(jié)論序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：由已知可設(shè)b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分別求出a、b、c的值，即可判斷2b與a+c相等得到三邊成等差數(shù)列，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A為鈍角，利用平面向量的數(shù)量積得運(yùn)算法則求出

AC

•

AB

的值，并根據(jù)面積公式即可求出三角形ABC的面積，再與題目進(jìn)行比較即可．

解答：解：由已知可設(shè)b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
則a=

7

2

k，b=

5

2

k，c=

3

2

k，
∴a：b：c=7：5：3，∴2b=a+c，
即△ABC的邊長(zhǎng)可以組成等差數(shù)列，故①正確；
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，故③錯(cuò)誤；
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

25 4 k2+ 9 4 k2- 49 4 k2

2× 5 2 × 3 2 k2

=-

1

2

＜0，
∴△ABC為鈍角三角形，∴

AC

•

AB

=bccosA＜0，故②正確；
若b+c=8，則k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

4

3

，故④正確；
所以正確的結(jié)論序號(hào)是：①②④．
故答案：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理以及余弦定理的運(yùn)用，利用三角形的面積公式求解面積，屬于基礎(chǔ)題．