Question

已知曲線C：x²+y²-4ax+2ay-20+20a=0.

（1）證明：不論a取何實(shí)數(shù)，曲線C必過(guò)定點(diǎn)；

（2）當(dāng)a≠2時(shí)，證明曲線C是一個(gè)圓，且圓心在一條直線上；

（3）若曲線C與x軸相切，求a的值.

Answer 1

（1）證明略（2）證明略（3）a=

解析:

證明  曲線C的方程可變形為

(x²+y²-20)+(-4x+2y+20)a=0，

由解得

點(diǎn)（4，-2）滿足C的方程，故曲線C過(guò)定點(diǎn)（4，-2）.

（2）證明  原方程配方得(x-2a)²+(y+a)²=5(a-2)²,

∵a≠2時(shí)，5(a-2)²＞0,

∴C的方程表示圓心是（2a,-a),半徑是|a-2|的圓.

設(shè)圓心坐標(biāo)為（x,y），則有

消去a得y=-x,故圓心必在直線y=-x上.

（3）解 由題意得|a-2|=|a|,解得a=