Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l不過點(diǎn)M，求證：直線MA，MB與x軸圍成等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過點(diǎn)（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍，可得到兩根之和、兩根之積，設(shè)直線MA，MB斜率分別為k₁和k₂，化簡(jiǎn)k₁+k₂ 的結(jié)果等于0，即說明MB與x軸所圍的三角形為等腰三角形．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

3

2

，所以a²=4b²，又橢圓過點(diǎn)M（4，1），所以

16

a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20，故橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1（5分）
（2）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，△=（8m）²-20（4m²-20）＞0得：5＞m＞-5．
設(shè)直線MA，MB斜率分別為k₁和k₂，只要證k₁+k₂=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2 =-

8m

5

，x1x2=

4m-20

5

k1+k2=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0
因此MA，MB與x軸所圍的三角形為等腰三角形．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．