Question

如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中點，N是BC的中點，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動，若MN∥平面A₁BD，則點M軌跡的長度是

2

2

a

．

Answer 1

分析：連接GH、HN，根據(jù)面面平行的判定定理可知平面A₁BD∥平面GHN，又點M在四邊形上及其內(nèi)部運動，則點M須在線段GH上運動，即滿足條件，求出GH即可求出所求．

解答：解：連接GH、HN，則GH∥BA₁，HN∥BD，
∵在邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中點，
N是BC的中點，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動，MN∥平面A₁BD，
∴平面A₁BD∥平面GHN，
又點M在四邊形上及其內(nèi)部運動，
則點M須在線段GH上運動，即滿足條件，GH=

2

2

a，
則點M軌跡的長度是

2

2

a．
故答案為：

2

2

a．

點評：本題主要考查了平面與平面平行的性質(zhì)，以及線段長度的求解，同時考查了推理能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．