Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，為，軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點(diǎn)，、為曲線上與不重合的兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，試探究面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）通過引入?yún)��?shù)，分別表示點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，得到其參數(shù)方程，再消去參數(shù)得到其軌跡方程.

（2）按照直線斜率是否存在分兩種情況進(jìn)行討論，對(duì)于斜率存在的情況，通過設(shè)出方程，代入曲線消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合題目條件求出m的值，從而求出關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式即可求出最大值.

（1）設(shè)，，則，

故點(diǎn)的軌跡方程為

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

設(shè)

則，

∴，不合題意.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)

，

聯(lián)立方程得

則 ，

又

即

將，代入上式得

∴直線過定點(diǎn)，所以直線MN： ，即，

則三角形GMN的底MN上的高為，

∴

令即

∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

故