Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求證:；

（2）若在上恒成立，求的最大值與的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為,的最小值為1.

【解析】

（1）構(gòu)建函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)在單調(diào)性并計算最值，可得結(jié)果.

（2）構(gòu)造函數(shù)，通過分類討論的方法，，和，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并計算最值比較，可得結(jié)果.

（1）由

所以.

又，,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而,.

（2）當時,

“”等價于“”

“”等價于“”.

令,則,

當時,

對任意恒成立.

當時,

因為對任意,,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而對任意恒成立.

當時,

存在唯一的，使得.

與在區(qū)間上的情況如下:

		0
	↗		↘

因為在區(qū)間上是增函數(shù),

所以.

進一步,“對任意恒成立”

當且僅當,即,

綜上所述：

當且僅當時,對任意恒成立;

當且僅當時,對任意恒成立.

所以，若對任意恒成立,

則最大值為,的最小值為1.