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        1. 某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是
          1
          2
          .棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第m(m∈N,m≥100)站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第m-1站(勝利大本營)或第m站(失敗大本營)時(shí),該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn
          (1)求P0,Pl,P2;
          (2)寫出Pn與Pn-1,pn-2的遞推關(guān)系;
          (3)求證:玩該游戲獲勝的概率小于
          2
          3
          分析:(1)結(jié)合題設(shè)條件能夠求出P0=1,P1=
          1
          2
          ,P2=
          1
          2
          +
          1
          2
          ×
          1
          2
          =
          3
          4

          (2)依題意,棋子跳到第n站(2≤n≤m)有兩種可能:第一種,棋子先到第n-2站,又?jǐn)S出反面,其概率為
          1
          2
          Pn-2
          ;第二種,棋子先到第n-1站,又?jǐn)S出正面,其概率為
          1
          2
          Pn-1
          ,由此能夠得到Pn與Pn-1,pn-2的遞推關(guān)系.
          (3)由Pn-Pn-1=-(
          1
          2
          Pn-1-
          1
          2
          Pn-2)(2≤n≤m)
          ,知數(shù)列{Pn-Pn-1}(1≤n≤99)是首項(xiàng)為P1-P0=-
          1
          2
          公比為
          1
          2
          的等比數(shù)列,由此能證明玩該游戲獲勝的概率小于
          2
          3
          解答:(1)解:依題意,得
          P0=1,P1=
          1
          2

          P2=
          1
          2
          +
          1
          2
          ×
          1
          2
          =
          3
          4
          (3分).
          (2)解:依題意,棋子跳到第n站(2≤n≤m)有兩種可能:
          第一種,棋子先到第n-2站,又?jǐn)S出反面,其概率為
          1
          2
          Pn-2
          ;
          第二種,棋子先到第n-1站,又?jǐn)S出正面,其概率為
          1
          2
          Pn-1

          Pn=
          1
          2
          P
           
          n-1
          +
          1
          2
          P
           
          n-2
                     (3分)
          (3)證明:∵Pn-Pn-1=
          1
          2
          Pn-1+
          1
          2
          Pn-2-Pn-1=-
          1
          2
          Pn-1+
          1
          2
          Pn-2

          Pn-Pn-1=-(
          1
          2
          Pn-1-
          1
          2
          Pn-2)(2≤n≤m)
          (2分)
          可知數(shù)列{Pn-Pn-1}(1≤n≤99)是首項(xiàng)為P1-P0=-
          1
          2
          公比為
          1
          2
          的等比數(shù)列,
          于是有Pm-1=P0+(P1-P0)+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(Pm-1-Pm-2
          =1+(-
          1
          2
          )+(-
          1
          2
          )2+(-
          1
          3
          )3+…+(-
          1
          2
          )m-1=
          2
          3
          [1-(
          1
          2
          )m]<
          2
          3

          因此,玩該游戲獲勝的概率小于
          2
          3
          .(2分)
          點(diǎn)評:本題考查概率的應(yīng)用,是中檔題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是
          1
          2
          .棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時(shí),該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn
          (Ⅰ)求:P0,Pl,P2;
          (Ⅱ)求證:Pn-Pn-1=-
          1
          2
          (Pn-1-Pn-2)
          ;(n≤99,n∈N)
          (Ⅲ)求:玩該游戲獲勝的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是.棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第m(m∈N,m≥100)站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第m-1站(勝利大本營)或第m站(失敗大本營)時(shí),該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn
          (1)求P,Pl,P2;
          (2)寫出Pn與Pn-1,pn-2的遞推關(guān)系;
          (3)求證:玩該游戲獲勝的概率小于

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江西省南昌十六中高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

          某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是.棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時(shí),該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn
          (Ⅰ)求:P,Pl,P2;
          (Ⅱ)求證:;(n≤99,n∈N)
          (Ⅲ)求:玩該游戲獲勝的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年江蘇省蘇州市木瀆高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

          某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是.棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時(shí),該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn
          (Ⅰ)求:P,Pl,P2;
          (Ⅱ)求證:;(n≤99,n∈N)
          (Ⅲ)求:玩該游戲獲勝的概率.

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