對于給定數列{cn}，如果存在實常數p，q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數列{cn}是“M類數列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，數列{an}、{bn}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數列{an}是“M類數列”，則數列{an+an+1}也是“M類數列”；
（3）若數列{an}滿足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t為常數．求數列{an}前2009項的和．并判斷{an}是否為“M類數列”，說明理由；
（4）根據對（2）（3）問題的研究，對數列{an}的相鄰兩項an、an+1，提出一個條件或結論與“M類數列”概念相關的真命題，并探究其逆命題的真假．
分析：本題考查的知識點是演繹推理和類比推理．（1）的解題思路是判斷an，bn是否滿足“M類數列”的定義：存在實常數p，q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立．找到常數p、q是解決問題的關鍵．（2）是看數列{an+an+1}是否也滿足“M類數列”的定義，根據已知想辦法將數列{an+an+1}的通項公式轉化為“M類數列”的一般形式．（3）要先求出數列{an}的通項公式，然后利用（1）的解法解決問題．（4）是要根據（2）、（3）的結論，進行歸納，大膽猜想出一個與“M類數列”相關的真命題，原則是盡可能的要簡單，以便后續(xù)的證明．
解答：解：（1）因為a
n=2n，則有a
n+1=a
n=+2，n∈N
*，
故數列{a
n}是“M類數列”，對應的實常數分別為1，2．
因為b
n=3•2
n，則有b
n+1=2b
n，n∈N
*，
故數列{b
n}是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0．
證明：（2）若數列{a
n}是“M類數列”，則存在實常數p，q，
使得a
n+1=pa
n+q對于任意n∈N
*都成立，
且有a
n+2=pa
n+1+q對于任意n∈N
*都成立，
因此（a
n+1+a
n+2）=p（a
n+a
n+1）+2q對于任意n∈N
*都成立，
故數列{a
n+a
n+1}也是“M類數列”．
對應的實常數分別為p，2q．
解：（3）因為a
n+a
n+1=3t•2
n（n∈N
*），
則有a
2+a
3=3t•2
2，a
4+a
5=3t•2
4，…，
a
2006+a
2007=3t•2
2006，a
2008+a
2009=3t•2
2008，
數列{a
n}前2009項的和S
2009=a
1+（a
2+a
3）+（a
4+a
5）+…+（a
2006+a
2007）+（a
2008+a
2009）
=2+3t•2
2+3t•2
4+…+3t•2
2006+3t•2
2008=2+t（2
2010-4），
若數列{a
n}是“M類數列”，則存在實常數p，q
使得a
n+1=pa
n+q對于任意n∈N
*都成立，
且有a
n+2=pa
n+1+q對于任意n∈N
*都成立
因此（a
n+1+a
n+2）=p（a
n+a
n+1）+2q對于任意n∈N
*都成立，
而a
n+a
n+1=3t•2
n（n∈N
*），則有3t•2
n+1=3t•p2
n+2q對于任意n∈N
*，都成立，
可以得到t（p-2）=0，q=0，
①當p=2，q=0時，a
n+1=2a
n，a
n=2
n，t=1，經檢驗滿足條件．
②當t=0，q=0時，a
n+1=-a
n，a
n=2（-1）
n-1，p=-1，經檢驗滿足條件．
因此當且僅當t=1或t=0，時，數列{a
n}也是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0，或-1，0．
解：（4）命題一：若數列{a
n}是“M類數列”，則數列{a
n-a
n+1}也是“M類數列”．
逆命題：若數列{a
n-a
n+1}是“M類數列”，則數列{a
n}也是“M類數列”．
當且僅當數列{a
n-a
n+1}是常數列、等比數列時，逆命題是正確的．
命題二：若數列{a
n}是等比數列，則數列{a
n+a
n+1}、{a
n-a
n+1}、{a
n•a
n+1}、
{}是“M類數列”
逆命題：若數列{a
n+a
n+1}、{a
n-a
n+1}、{a
n•a
n+1}、
{}是“M類數列”則數列{a
n}是等比數列．
逆命題是正確的．
點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論推理．三段論推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P．
