Question

請(qǐng)考生在第23，24，25題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)．
選修4-1  幾何證明選講
已知C點(diǎn)在⊙O的直徑BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CA切⊙O于A點(diǎn)，CD是∠ACB的平分線(xiàn)，交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求∠ADF的度數(shù)；
（Ⅱ）若AB=AC，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過(guò)角的關(guān)系求解．
（Ⅱ）先證明△BCA∽△ACE，再確定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)∠EAC=α，根據(jù)弦切角定理，∠ABE=α．
根據(jù)三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的內(nèi)角平分線(xiàn)，所以FCE=45°-α．
再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．
根據(jù)對(duì)頂角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△BCA∽△ACE，∴=，
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，考查三角形的相似，解題的關(guān)鍵是確定角的相等關(guān)系，注意弦切角定理的合理運(yùn)用，屬于中檔題．