Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x-2

，a為常數(shù)
（1）若f（x）＞2的解集為（2，3），求a的值
（2）若f（x）＜x-3對(duì)任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由解集可知x＞2，從而對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，解出不等式后對(duì)比解集端點(diǎn)可得關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）f（x）＜x-3對(duì)任意的x∈（2，+∞）恒成立，可先分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值解決，對(duì)函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)變形，然后利用基本不等式可求最值；

解答：解：（1）由解集為（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，
所以f（x）＞2即

a(x-1)

x-2

＞2可化為a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，
由解集形式知：a-2＜0，所以x＜

a-4

a-2

②，
由①②得2＜x＜

a-4

a-2

，
所以

a-4

a-2

=3，解得a=1，；
（2）f（x）＜x-3即

a(x-1)

x-2

＜x-3對(duì)任意的x∈（2，+∞）恒成立，等價(jià)于a＜

(x-2)(x-3)

x-1

對(duì)任意的x∈（2，+∞）恒成立，
又

(x-2)(x-3)

x-1

=（x-1）+

2

x-1

-3≥2

(x-1)• 2 x-1

-3=2

2

-3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

+1時(shí)取等號(hào)，
所以a＜2

2

-3；

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題、根與系數(shù)的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榍蠛瘮?shù)最值問(wèn)題．