Question

【題目】在四棱錐中， ， ， ， ， 是棱的中點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（1）證明線面垂直，先找線線垂直， ， ，所以，

以，再由得到線面垂直；（2）由空間向量坐標(biāo)系的方法，得到兩個(gè)半平面的法向量，由向量的夾角公式得到二面角的余弦值.

解析：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，

由已知， ，故為平行四邊形.

所以，因?yàn)?/span>，故.

又，所以，

，所以.

由已知可求， ，所以，所以.

又，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又，

以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得， ， ， .

由為棱的中點(diǎn)，得.

向量， ， ， .

由點(diǎn)在棱上，設(shè)， .

故

.

由，得，

因此， ，解得.

即.

設(shè)為平面的法向量，則即

不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.

取平面的法向量，

則

.

易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.