Question

若函數(shù)f(x)=tanx+

4π

3

在點(diǎn)P(

π

3

，  

3

+

4π

3

)處的切線為l，直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為

3

8

．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，從而求出在x=

π

3

處切線的斜率，求出切線方程，從而求出A、B的坐標(biāo)，最后根據(jù)直角三角形的面積公式解之即可．

解答：解：∵f(x)=tanx+

4π

3

∴f′(x)=

1

cos2x

則f′(

π

3

)=

1

cos2 π 3

=4
即切線的斜率為4，切線方程為y-（

3

+

4π

3

）=4（x-

π

3

）即y=4x+

3

令x=0，解得y=

3

，令y=0，解得x=-

3

4

∴△AOB的面積為

1

2

×

3

4

×

3

=

3

8

故答案為：

3

8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及三角形的面積的公式，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．