Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤1）
（1）求證：對任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）是否存在點E使AE與平面SBD所成的角θ滿足sinθ=

3

4

，若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點O，由底面ABCD是正方形，得AC⊥BD．由SD⊥平面ABCD，知SD⊥AC，由此能夠證明AC⊥BE．
（2）由AC⊥平面SBD，知∠AEO是AE與平面SBD所成的角，即∠AEO=60°，由此能夠推導(dǎo)出不存在滿足條件的點E．

解答：（本小題滿分13分）
（1）證明：連接BD交AC于點O，
由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴SD⊥AC，又SD、BD?平面SBD，且SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD，又∵BE?平面SBD
∴AC⊥BE．…（6分）
（2）解：由（1）可知，AC⊥平面SBD，
∴∠AEO是AE與平面SBD所成的角，即∠AEO=60°，
在Rt△AOE中，AO=

2

2

a，
AE=

AD2+DE2

=

a2+(λa)2

=

1+λ2

a，
由sin∠AEO=

AO

AE

=

2

2 1+λ2

得，

2

2 1+λ2

=

3

4

，
解得λ2=

5

3

＞1與已知λ∈（0，1]矛盾，
所以不存在滿足條件的點E．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，探索滿足條件的點是否存在．解題時要認真審題，仔細解答，注意空間思維能力的培養(yǎng)．