Question

（2012•包頭三模）選修4-5：不等式選講
設(shè)f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（I）當(dāng)a=l時(shí)，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=|x|+2|x-1|=

2-3x，x＜0 2-x，0≤x≤1 3x-2 ，x＞1

，分三種情況求出不等式的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）化簡函數(shù)f（x）=|x|+2|x-a|的解析式，求出它的最小值，由題意可得f（x）的最小值a大于或等于4，由此求得a取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=|x|+2|x-1|=

2-3x，x＜0 2-x，0≤x≤1 3x-2 ，x＞1

．…（2分）
當(dāng)x＜0時(shí)，由2-3x≤4，得-

2

3

≤x＜0；
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1≤2-x≤2，解得 0≤x≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，由3x-2≤4，得1＜x≤2．
綜上，不等式f（x）≤4的解集為[-

2

3

，2]．…（5分）
（Ⅱ）f（x）=|x|+2|x-a|=

2a-3x，x＜0 2a-x，0≤x≤a 3x-2a ，   x＞a

．…（7分）
可見，f（x）在（-∞，a]單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取最小值a．
若f（x）≥4恒成立，則應(yīng)有a≥4，
所以，a取值范圍為[4，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題以及求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．