Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)c_n=，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由（n∈N^*）．能導(dǎo)出a_n=3n+2，n∈N^*．由a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N^*，能證明數(shù)列{a_n}是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
（II）由a_n=3n+2，知c_n==，由裂項(xiàng)求和法能求出T_n=．由此能求出使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．
解答：解：（I）∵（n∈N^*）．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=5，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=
=
=3n+2．
∵a₁=5滿足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2，n∈N^*．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
（II）∵a_n=3n+2，
∴c_n=
=
=，
∴
=
=．
∵，n∈N^*，
∴T_n單調(diào)遞增．
∴．…（11分）
∴，解得k＜19，因?yàn)閗是正整數(shù)，
∴k_max=18． …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和等差數(shù)列的證明，求使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．