Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值并判斷的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由即可求得的值，再把函數(shù)的解析式分離常數(shù)即可判斷的單調(diào)性；（2）先利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用換元法令將不等式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式恒成立問(wèn)題，最后把一元二次不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）易知該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；（2）由函數(shù)為奇函數(shù)，不等式可化為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，令，不等式可化為在上恒成立，此時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為，又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以.