Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）若λan+

1

an+1

≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2），知

1

an

=

1

an-1

+3，由此能求出an=

1

3n-2

．
（Ⅱ）由an=

1

3n-2

.λan+

1

an+1

≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，知λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，設(shè)Cn=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，由n=2時(shí)，C_n的最小值C₂為

28

3

，能求出λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2），
∴

1

an

=

1

an-1

+3，即

1

an

-

1

an-1

=3，

1

a1

=1，
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=

1

3n-2

．
（Ⅱ）∵an=

1

3n-2

．
λan+

1

an+1

≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，
∴λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，
設(shè)Cn=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
則C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，
∴C_n+1＞C_n，
∵n=2時(shí)，C_n的最小值C₂為

28

3

，
∴λ的取值范圍是（-∞，

28

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．