Question

甲乙丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意．最終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一分乙得零分，反面朝上則乙得一分甲得零分，先得4分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議．記所需拋幣次數(shù)為ξ．
（1）求ξ=6的概率；
（2）求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）先確定ξ=6的意義，首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為

1

2

，若第6次甲贏意味著“第6次甲贏，前5次贏3次，但根據(jù)規(guī)則，前4次中必輸1次”．若乙贏同樣．故可根據(jù)二項(xiàng)分布列出式子求解即可．
（2）確定ξ的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）當(dāng)ξ=6時(shí)，若甲贏意味著“第6次甲贏，前5次贏3次，
但根據(jù)規(guī)則，前4次中必輸1次”，由規(guī)則，每次甲贏或乙贏的概率均為

1

2

，
因此P（ξ=6）=2

C

3 5

×(

1

2

)3×(

1

2

)2×

1

2

=

5

16

           …4分
（2）分布列為：

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

…10分
∴Eξ=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

                  …12分

點(diǎn)評：本小題主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，古典概型，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，數(shù)學(xué)期望等知識，考查隨機(jī)思想以及數(shù)據(jù)處理能力、抽象思維能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識．