Question

已知二次函數(shù) f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R)滿足f(1)=1且f(-1)=0,對于任意實數(shù)x,都有f(x)≥x.

(1)證明a＞0,c＞0；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-mx(x∈R),求m的取值范圍,使函數(shù)g(x)在區(qū)間［-1,1］上是單調(diào)函數(shù).

Answer 1

思路分析：二次函數(shù)g(x)在［-1,1］上是單調(diào)函數(shù),即g(x)圖象的對稱軸在［-1,1］的兩側(cè).

(1)證明:由即

∴a+c=b=.

∵f(x)-x≥0對x∈R都成立,

即ax²-x+c≥0恒成立,

∴a＞0且Δ=-4ac≤0.

∴ac≥.

又a＞0,∴c＞0.

(2)解析：∵a+c≥2,∴ac≤.

又由(1)得ac≥,∴ac=.

∴a=c=.

∴f(x)=x²+x+,

g(x)=f(x)-mx=［x²+(2-4m)x+1］.

要使g(x)在［-1,1］上為單調(diào)函數(shù),只要|-|≥1,

∴m≥1或m≤0.

溫馨提示

    二次函數(shù)在區(qū)間［a,b］上單調(diào),對稱軸x=x₀必須在區(qū)間的兩側(cè),即(x₀-a)(x₀-b)＞0.