Question

x，y是兩個不相等的正數，且滿足x³-y³=x²-y²，則[9xy]的最大值為________．（其中[x]表示不超過x的最大整數）．

Answer 1

3
分析：由x，y是兩個不相等的正數，且滿足x³-y³=x²-y²，知x²+xy+y²=x+y，將其看成y的函數，解出y=（1-x±），由定義域知-＜x＜1，由此借助三角函數能求出[9xy]的最大值．
解答：∵x，y是兩個不相等的正數，且滿足x³-y³=x²-y²，∴x²+xy+y²=x+y，
將其看成y的函數，解出y=（1-x±），由定義域知-＜x＜1，
若y=（1-x-），
解y＞0，1-x-•＞0，1-x＞1+3x，x＜0，與x，y同為正數不符，
所以y=（1-x+），且y＞0，x＞0，
（1+2x-3x²）=3[-（x-）²]，
設x-=sinα，即x=（1+2sinα），其中-≤α≤，
由x＞0，知-＜α≤，
y=（1-x+）=（1-sinα+cosα），
由x，y不相等，知1+2sinα≠1-sinα+cosα，tanα≠，知α≠，
9xy=（1+2sinα）（1-sinα+cosα）=1+sinα+cosα-2sin²α+2sinαcosα，
∵（sinα+cosα）²=sin²α+2sinαcosα+3cos²α=3-2sin²α+2sinαcosα，
9xy=-2+sinα+cosα+（sinα+cosα）²=（sinα+cosα+）²-，
∵sinα+cosα=2sin（α+），-＜α≤，α≠，
∴＜α+≤，但α+≠，
∴1≤2sin（α+）＜2．
所以9xy=（sinα+cosα+）²-＜（2+）²-=4．
∴[9xy]的最大值為3．
故答案為：3．
點評：本題考查函數值域的求法，綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．