Question

【題目】如圖，四棱錐 中，底面ABCD為矩形，側面PAD為正三角形，且平面 ABCD平面， E為PD中點， AD=2.

（Ⅰ）求證：平面 平面PCD；
（Ⅱ）若二面角 的平面角大小 滿足 ，求四棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取AD中點為O， BC中點為E，
由側面PAD為正三角形，且平面 平面ABCD知 平面ABCD，故 ，
又 ，則 平面PAD，所以 ，
又 ，則 ，又E是PD中點，則 ，
由線面垂直的判定定理知 平面PCD，
又 平面AEC，故平面 平面PCD.
（Ⅱ）

如圖所示，建立空間直角坐標系 ，
令AB=a，則 .
由（Ⅰ）知 為平面PCE的法向量，
令 為平面PAC的法向量，
由于 均與n垂直，
故 即 解得
故 ，由 ，解得 .
故四棱錐 的體積
【解析】（1）由平面與平面垂直的性質可得直線與平面垂直，進而得到直線與直線垂直，利用直線與平面垂直的判定定理得到直線與平面垂直，一組相交直線分別垂直于同一平面，故可推出平面與平面垂直。
（2）將立體幾何坐標化，通過向量的方法，設出平面法向量，最終求得四棱錐的體積。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．