Question

【題目】如圖所示，以2為半徑的半圓弧所在平面垂直于矩形所在平面，是圓弧上異于、的點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)四棱錐的體積最大為8時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由平面平面，可得平面，得，又，從而得到平面利用面面垂直的判定定理即可得到證明；（2）由題意可知在圓弧的中點(diǎn)上且在、上取中點(diǎn)、，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OE,OB,OS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面SAD和平面SCD的法向量，然后利用向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算即可.

（1）由已知，平面平面，交線為，

且，平面

所以平面，故

是圓弧上異于、的點(diǎn)，且為直徑，所以

又，所以平面

又平面，所以平面平面

（2）顯然當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，在圓弧的中點(diǎn)上，

，所以

分別在、上取中點(diǎn)、，則可得、、三者兩兩垂直，

分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，，

，，

因?yàn)?/span>平面，可取是平面的一個(gè)法向量

設(shè)是平面的法向量

所以，

取，可得，，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角大小為

則