Question

（本題16分） 設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求與的關(guān)系；（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)   (Ⅱ) （3）.

解析:

解：（1）由題意得 

  而，所以、的關(guān)系為          …………3分

（2）由（1）知，

令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：恒成立.                                   …    5分

①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img width=13 height=15 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/188/252588.gif">＞，所以＜0，＜0，

 ∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；

②當(dāng)＞0時(shí)，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，∴，只需，即，∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意. 

 ③當(dāng)＜0時(shí)，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時(shí)，在恒成立，故＜0適合題意.綜上所述，的取值范圍為                                 9分

（3）∵在上是減函數(shù)， ∴時(shí)，；時(shí)，，即，①當(dāng)時(shí)，由（2）知在上遞減＜2，不合題意； 

  ②當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，又由（2）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

 ∴＜，不合題意；                                  

③當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，故只需＞， ，而，

， 即  ＞2，解得＞ ，                 15分

綜上，的取值范圍是.  ……16分

點(diǎn)評：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)用、分類討論、不等式、二次函數(shù)，難題