Question

設x＞y＞z，n∈N，則

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，則n_max=

4

．

Answer 1

分析：由x＞y＞z，知x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，從而

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，即

x-z

x-y

+

x-z

y-z

≥n恒成立，等價于(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min≥n，利用基本不等式可求得最小值．

解答：解：∵x＞y＞z，
∴x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，
∴

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，
即

x-z

x-y

+

x-z

y-z

≥n恒成立，等價于(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min≥n，
∵

x-z

x-y

+

x-z

y-z

=

x-y+y-z

x-y

+

x-y+y-z

y-z

=

y-z

x-y

+

x-y

y-z

+2≥2

y-z x-y • x-y y-z

+2=4，
當且僅當y-z=x-y，即2y=x+z時取得等號，
∴(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min=4，
∴n≤4，
即n_max=4，
故答案為：4．

點評：本題考查基本不等式的應用及恒成立問題，恒成立問題常轉化為最值解決，使用基本不等式求最值注意條件：一正、二定、三相等．