Question

若函數(shù)f（x）滿足：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k為常數(shù)），則稱“f（x）關(guān)于k可線性分解”．
（1）函數(shù)f（x）=2^x+x²是否關(guān)于1可線性分解？請說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）=lnx-ax+1（a＞0）關(guān)于a可線性分解，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)a取最小整數(shù)時；
（i）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明不等式：（n!）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）=2^x+x²是關(guān)于1可線性分解，理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1）
∴h（0）=-1＜0，h（1）=2
∴h（x）在（0，1）上至少有一個零點(diǎn)
即存在x₀∈（0，1），使f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）；
（2）由已知，存在實(shí)數(shù)x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a）（a為常數(shù)），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1
∴ln

x0+a

ax0

=1
∴

x0+a

ax0

=e
∴x₀=

a

ae-1

＞0
∵a＞0，∴a＞

1

e

；
（3）（i）由（2）知，a=1，g（x）=lnx-x+1，g′(x)=

1-x2

x

（x＞0）
∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0，∴g（x）的增區(qū)間是（0，1）；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，∴g（x）的減區(qū)間是（1，+∞）；
（ii）證明：由（i）知x∈（0，+∞），g（x）≤g（1），即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1
∴l(xiāng)n1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，lnn＜n-1
相加得：ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+（n-1）
即lnn!≤

n(n-1)

2

∴（n!）²≤e^n（n-1）（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取“=”號）．