Question

如圖，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)，G，H分別是EB，AB和BC的中點．求證：
（1）FG∥平面AEDC；
（2）平面AEDC∥平面FGH
（3）FD∥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）證FG∥平面AEDC，只要證明FG∥AE，且AE?平面AEDC，F(xiàn)G?平面AEDC即可；
（2）證平面AEDC∥平面FGH，只要證明平面FGH內(nèi)的FG∥平面AEDC，GH∥平面AEDC，且FG∩GH=G即可；
（3）證FD∥平面ABC，只要證明FD∥GC，且FD?平面ABC，GC?平面ABC即可，由FG∥DC，且FG=DC，得四邊形FGCD是平行四邊形，可證得．

解答：證明：（1）∵F，G分別是EB，AB的中點，∴FG為△EAB的中位線，∴FG∥AE；
又AE?平面AEDC，F(xiàn)G?平面AEDC，
∴FG∥平面AEDC；
（2）∵G，H分別是AB和BC的中點，∴HG為△CAB的中位線，∴HG∥AC；
又AC?平面AEDC，HG?平面AEDC，∴GH∥平面AEDC；
由（1）得FG∥平面AEDC，且FG∩GH=G，F(xiàn)G?平面FGH，GH?平面FGH；
∴平面AEDC∥平面FGH；
（3）∵FG為△EAB的中位線，∴FG=

1

2

AE=a，且FG∥EA；
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC；
∴FG∥DC，又FG=DC=a，
∴四邊形FGCD是平行四邊形，
∴FD∥GC，又FD?平面ABC，GC?平面ABC，
∴FD∥平面ABC．

點評：本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的判定知識，熟練地掌握線面平行、面面平行的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．