Question

（普通班）已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．

（實(shí)驗(yàn)班）已知函數(shù)R)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的的切線方程；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（實(shí)驗(yàn)班）（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，．

，                                 

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（）， 則，               

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：．   

（Ⅱ）解法一：由題意得，即． 

，         

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123575018753163/SYS201205220000053125964856_DA.files/image008.png">，所以恒成立，

故在上單調(diào)遞增，                        

要使恒成立，則，解得．

解法二：             

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，

即．                

（2）當(dāng)時(shí)，令，對稱軸，

則在上單調(diào)遞增，又     

① 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

所以在單調(diào)遞增，

即，不合題意，舍去

②當(dāng)時(shí)，， 不合題意，舍去  

綜上所述：                                

20．(普通班)解：（1）∵焦距為4，∴ c=2………………………………………………1分

又∵的離心率為……………………………… 2分

∴，∴a=，b=2………………………… 4分

∴標(biāo)準(zhǔn)方程為………………………………………6分

（2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由得……………………7分

∴x₁+x₂=，x₁x₂=

由（1）知右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，0），∵右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，∴＜0…………8分

∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0

即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分

  ∴＜0…………… 11分

∴k＜……… 12分

經(jīng)檢驗(yàn)得k＜時(shí)，直線l與橢圓相交，∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）……13分

 

【解析】略