Question

（本小題滿分14分）已知，函數(shù)．

（Ⅰ）當時，

（�。┤�，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（ⅱ）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點與點的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，的取值范圍是；（2）見解析.

【解析】第一問中因為，所以，得到解析式，然后分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運用導(dǎo)數(shù)的正負來判定即可

第二問中，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價轉(zhuǎn)化為

不等式在區(qū)間上有解，然后利用分離參數(shù)m的思想得到取值范圍

第三問中，因為的對稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關(guān)于點對稱．然后加以證明即可。

解：（Ⅰ）（i）因為，所以，        ……………………1分

則， 而恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．      ……………………4分

（ii）不等式在區(qū)間上有解，

即 不等式在區(qū)間上有解，

即   不等式在區(qū)間上有解，

等價于不小于在區(qū)間上的最小值．         ……………………6分

因為時，，

所以的取值范圍是．                  ……………………9分

（Ⅱ）因為的對稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關(guān)于點對稱．    ……………………10分

對猜想證明如下：

因為，

所以，

所以，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因為，

所以，，   ……………………12分

從而，

所以．

又由上 ，

所以點，（）關(guān)于點對稱．

故當直線與平行時，點與點關(guān)于點對稱．        ……………………14分