Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=，a₂=且當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，3a _n+1=4a-a _n-1
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記 ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N^*
（1）求極限 （2-2 _i-1）
（2）對(duì)一切正整數(shù)n，若不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)閿?shù)列{a_n}不是特殊的數(shù)列，所以可用構(gòu)造法，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，使其具有一定的規(guī)律．通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1則新數(shù)列為等比數(shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)新數(shù)列的通項(xiàng)公式疊加求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）① （2-a _i-1）=（1+）（1+）（1+）…（1+）=，再對(duì)分子進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出答案；
②λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-，從而得出λ的最小值．
解答：解：（I）a₁=，a₂=且當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，3a _n+1=4a-a _n-1
∴3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1
∴a_n-a _n-1=（a _n-1-a _n-2）=（a _n-2-a _n-3）=…=（a ₂-a ₁）=，
疊加，得a_n-a₁=2（++…+）
故所求的通項(xiàng)公式為a_n=1-，（n∈N^*）
（Ⅱ）① （2-a _i-1）=（1+）（1+）（1+）…（1+）
===．
②λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1

下面證明（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-

（i）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1-）（1-）=
右邊=1-（+）=
左邊＞右邊，不等式成立．
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，（1-）（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）
成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，，（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）
≥[1-（++…+）（1-）=（+）（1-）＞+
又1-（++…++）=1-=+
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜上（i）、（ii）可知，（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-成立．
對(duì)一切正整數(shù)n，不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立
?1-恒成立
（1-）=[+（）ⁿ]=
∴1-＞
故只需≥，∴λ≥2
而λ∈N^*．
∴λ的最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．