Question

在平面直角坐標(biāo)系中，記拋物線y=x-x²與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，該拋物線與直線y=kx（k＞0）所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳，向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，若點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為

8

27

，則k的值為

1

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)定積分的幾何意義，利用定積分計(jì)算公式算出拋物線y=x-x²與x軸所圍成的平面區(qū)域M的面積S=

1

6

，從而由幾何概型公式算出拋物線與y=kx圍成的平面區(qū)域A的面積為S'=

4

81

．由此算出y=x-x²與y=kx在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分公式建立關(guān)于k的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)k的值．

解答：解：∵拋物線y=x-x²與x軸交于點(diǎn)（0，0）與（1，0），
∴根據(jù)定積分的幾何意義，可得拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域M的面積為
S=

∫

1 0

（x-x²）dx=（

1

2

x2-

1

3

x3）

|

1 0

=

1

6

．
設(shè)拋物線與直線y=kx（k＞0）所圍成的平面區(qū)域A的面積為S'，
∵向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為

8

27

，
∴

S′

S

=

8

27

，可得S'=

8

27

S=

4

81

．
求出y=x-x²與y=kx的交點(diǎn)中，除原點(diǎn)外的點(diǎn)B坐標(biāo)為（1-k，k-k²），
可得S'=

∫

1-k 0

[（x-x²）-kx]dx=[

1

2

（1-k）x²-

1

3

x3]

|

1-k 0

=

1

6

（1-k）³．
因此可得

1

6

（1-k）³=

4

81

，解之得k=

1

3

．
故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾何概型的概率，求直線的斜率k的值．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型公式等知識(shí)，屬于中檔題．