Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把四邊形面積分成2個(gè)直角三角形面積之和，代入棱錐體積公式進(jìn)行計(jì)算．
（Ⅱ）先證 CD⊥平面PAC，由三角形中位線的性質(zhì)得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，從而證得平面PAC⊥平面AEF．
（Ⅲ）由三垂線定理作出∠EQM為二面角E-AC-D的平面角，并證明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大�。�

解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=

3

，AC=2（1分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

3

，AD=4（2分）
∴SABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

（4分）
則V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

（5分）

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD（6分）
又AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC（7分）
∵E、F分別為PD、PC中點(diǎn)，
∴EF∥CD（8分）
∴EF⊥平面PAC（9分）
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF（10分）

（Ⅲ）取AD的中點(diǎn)M，連接EM，則EM∥PA，
∴EM⊥平面ACD，過M作MQ⊥AC于Q，
連接EQ，則∠EQM為二面角E-AC-D的平面角．（12分）
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，MQ⊥AC，CD⊥AC，
∴MQ=

1

2

CD=

3

，又EM=

1

2

PA=1，
∴tan∠EQM=

EM

MQ

=

1

3

=

3

3

，故∠EQM=30°
即三面角E-AC-D的大小為30°（14分）

點(diǎn)評：本題考查用分割法求出棱錐的底面積，直線與平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．