Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)恰為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得方程x2-ax+1=0有兩個(gè)不相等的正根，即可求出a的范圍；（II）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義得出g'（x）=0時(shí)存在兩正根x1，x2；再利用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)的定義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)y的最小值

解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

令，即，要使在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

則方程有兩個(gè)不相等正根，

則解得，

即.

（2），

由于為的兩個(gè)零點(diǎn).

即，

，

兩式相減得： .

∴，

又.

∴ .

故，

設(shè)，∵ 為的兩根，

∴，故，

∴，又，

即，

解得或.

因此，

此時(shí)，

，

即函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)， 取得最小值，

∴.

即所求最小值為.