Question

在平面直角坐標系中，函數(shù)y=cosx和函數(shù)y=tanx的定義域都是（-

π

2

，

π

2

），它們的交點為P，則點P的縱坐標為（　�。�

• A．

  -1+ 5 2

• B．

  -1+ 5

  2

• C．

  2

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：設兩個圖象的交點坐標為P（α，y₀），可得cosα=tanα，再利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關系和平方關系化簡整理，得到sin²α+sinα-1=0，解之得sinα=

5 -1

2

，由此即可算出交點P的縱坐標．

解答：解：設y=cosx和y=tanx的交點坐標為P（α，y₀），則
可得y₀=cosα，且y₀=cosα，得cosα=tanα
∵tanα=

sinα

cosα

，∴cosα=

sinα

cosα

，可得cos²α=sinα
結合cos²α=1-sin²α，得1-sin²α=sinα
∴sin²α+sinα-1=0，解之得sinα=

-1± 5

2

∵sinα∈[-1，1]，α∈（-

π

2

，

π

2

）
∴sinα=

-1+ 5

2

（舍去

-1- 5

2

）
因此，y₀=cosα=

cos2α

=

sin α

=

-1+ 5 2

故選：A

點評：本題給出正弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象，求它們圖象交點的縱坐標，著重考查了同角三角函數(shù)的基本關系和三角函數(shù)的圖象等知識，屬于中檔題．