Question

過拋物線x²=4y上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于P點，．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）已知點F（0，1），是否存在實數(shù)λ使得？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解法（一）：（1）設(shè)A（x₁，），
由x²=4y，得：y′=，∴k_PA=∵=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（4分）
直線PA的方程是：y-）即y=①
同理，直線PB的方程是：y=②，（6分）
由①②得：
∴點P的軌跡方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：-1），-1），P（，-1）=-4，
（+2，
所以=0
故存在λ=1使得=0．（14分）
解法（二）：（1）∵直線PA、PB與拋物線相切，且=0，
∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且PA⊥PB，
設(shè)PA的直線方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由得：x²-4kx-4m=0．（4分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直線PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直線PB的方程是：y=-，（6分）
由得：
故點P的軌跡方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：A（2k，k²），B（-，），
∴-1），，-2））．
故存在λ=1使得=0．（14分）
分析：法一：（1）設(shè)A（x₁，），由x²=4y，得：y′=，由此推導(dǎo)出直線PA的方程是：y=．同理，直線PB的方程是：y=．由此能求出點P的軌跡方程．
（2）由-1），-1），得P（，-1）=-4，（+2，由此能推導(dǎo)出存在λ=1使得=0．
法二：（1）由直線PA、PB與拋物線相切，且=0，設(shè)PA的直線方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由得：x²-4kx-4m=0，△=16k²+16m=0，得到直線PA的方程是：y=kx-k²．同理可得直線PB的方程是：y=-．由此能求出P的軌跡方程．
（2）由A（2k，k²），B（-，），知-1），，-2），由此能推導(dǎo)出存在λ=1使得=0．
點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．