Question

如圖，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=

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2

CD，∠BAD=∠ADC=90°
（1）在面PCD上找一點(diǎn)M，使BM⊥面PCD；
（2）求由面PBC與面PAD所成角的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M為PC的中點(diǎn)，PD中點(diǎn)為N，由條件可得ABMN為平行四邊形，BM∥AN．再根據(jù)AN⊥面PCD，可得BM⊥面PCD．
（2）延長(zhǎng)CB交DA于E，證明PE⊥面PCD，可得∠CPD為二面角C-PE-D的平面角．求得得tan∠CPD=

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，可得cos∠CPD的值．

解答：解：（1）M為PC的中點(diǎn)，設(shè)PD中點(diǎn)為N，則MN=

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CD，且MN∥

1

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CD，∴MN=AB，MN∥AB．
再由 PA=AB=AD=

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CD，可得ABMN為平行四邊形，∴BM∥AN．
可得∠PAD=90°，∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD．…（6分）
（2）延長(zhǎng)CB交DA于E，∵AB=

1

2

CD，且AB∥

1

2

CD，∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE．
又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD為二面角C-PE-D的平面角．
再由PD=

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AD，CD=2AD，可得tan∠CPD=

2

，
∴cos∠CPD=

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求二面角的平面角的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．