Question

第29屆奧運(yùn)會(huì)期間，來自美國(guó)和英國(guó)的共計(jì)6名志愿者被隨機(jī)地平均分配到跳水、籃球、體操這三個(gè)崗位服務(wù)，且跳水崗位至少有一名美國(guó)志愿者的概率是

3

5

．
（Ⅰ）求6名志愿者中來自美國(guó)、英國(guó)的各幾人；
（Ⅱ）求籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各一人的概率．
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量X為在體操崗位服務(wù)的美國(guó)志愿者的個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)至少一名美國(guó)志愿者被分到跳水崗位的對(duì)立事件為沒有美國(guó)志愿者被分到跳水崗位，設(shè)出來自美國(guó)的人數(shù)，根據(jù)對(duì)立事件的概率列出關(guān)于x的方程，得到結(jié)果．
（II）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從6個(gè)人中選2個(gè)人，共有C₆²種結(jié)果，滿足條件的事件是從美國(guó)人中選一個(gè)，從英國(guó)人中選一個(gè)，共有C₄¹C₂¹種結(jié)果，得到概率．
（III）由題意知變量X的所有可能值為0，1，2，根據(jù)變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到X為0，1，2三個(gè)數(shù)字時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，寫出變量的分布列和做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）記至少一名美國(guó)志愿者被分到跳水崗位為事件A，
則A的對(duì)立事件為“沒有美國(guó)志愿者被分到跳水崗位”，設(shè)有美國(guó)人x個(gè)，1≤x＜6，
那么P(A)=1-

C 2 6-x C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

3

5

，
解得x=2，即來自美國(guó)的2人，來自英國(guó)的4人．                             （4分）
（Ⅱ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從6個(gè)人中選2個(gè)人，共有C₆²種結(jié)果，
滿足條件的事件是從美國(guó)人中選一個(gè)，從英國(guó)人中選一個(gè)，共有C₄¹C₂¹種結(jié)果
記籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各有一人為事件E，那么P(E)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
所以籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各一人的概率是

8

15

．              （8分）
（III）由題意知變量X的所有可能值為0，1，2，
根據(jù)變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到，
P(X=0)=

C 2 4 C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

2

5

，P(X=1)=

C 1 2 C 1 4 C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

8

15

，P(X=2)=

C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

1

15

，
∴變量的分布列為：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

（10分）
∴E(X)=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

（人）．                  （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是理解題意，看出變量對(duì)應(yīng)的事件，根據(jù)對(duì)應(yīng)的事件做出對(duì)應(yīng)的概率，本題是一個(gè)中檔題目．