Question

【題目】已知函數(shù)，其導函數(shù)為．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

根據(jù)題意，對函數(shù)進行求導，得出，再通過對進行分類討論，得出導數(shù)的正負情況，對應得出區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解出答案。

根據(jù)題意，列出不等式，利用分離參數(shù)的方法，得出對任意實數(shù)恒成立，將題目轉(zhuǎn)化為求當時的最小值問題。令，，對進行求導研究其單調(diào)性求出最小值，即可得出答案。

解：（1）依題意，，，

①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

②若，令，得.

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

綜上所述，

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）依題意，當時，恒成立，即

對任意實數(shù)恒成立.

令，，則

，

由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，

故，即，得.

所以方程有唯一解，

且當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以，所以.