Question

如圖，過(guò)橢圓中心的直線l與經(jīng)橢圓長(zhǎng)短軸端點(diǎn)的兩條切線l₁，l₂分別交于點(diǎn)A、B，O是l₁與l₂的交點(diǎn)，△AOB被橢圓分成四部分，若這四部分圖形的面積滿足S₁+S₃=S₂+S₄，則直線l有（ ）

A．0條
B．1條
C．2條
D．3條

Answer 1

【答案】分析：由圖可知，當(dāng)直線繞中心從豎直方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，S₂-S₃的差是定值；S₁-S₄的差單調(diào)減小，當(dāng)減小到S₁-S₄=S₂-S₃時(shí)，滿足題目要求，繼續(xù)減小時(shí)，不會(huì)再滿足．所以這樣的直線有且僅有一條．
解答：解：由圖可知，當(dāng)直線繞中心從豎直方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，
S₂的值恒為橢圓面積的一半，
S₃的值也不變，
即S₂-S₃的差是定值；
而S₁單調(diào)減小，
S₄單調(diào)增大，
則S₁-S₄的差單調(diào)減小，
當(dāng)減小到S₁-S₄=S₂-S₃時(shí)，
滿足題目要求，繼續(xù)減小時(shí)，不會(huì)再滿足．
所以這樣的直線有且僅有一條．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．