Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2(

π

4

-x)-2

3

sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)．
（1）求f(

5π

12

)的值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若x∈[

π

4

，

π

2

]，且不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)倍角公式，誘導(dǎo)公式及和差角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，將x=

5π

12

代入，可得答案．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）概據(jù)x∈[

π

4

，

π

2

]，求出f（x）的值域，進(jìn)而結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法，求得不等式|f（x）-m|＜2恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(

π

4

-x)-2

3

sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)
=1+cos(

π

2

-2x)-

3

sin(

π

2

+2x)
=1+sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1…（4分）
∴f(

5π

12

)=2sin(

5π

6

-

π

3

)+1=2sin

π

2

+1=3…（5分）
（2）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z…（6分）
得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z…（7分）
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ](k∈Z)…（9分）
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

…（10分）
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
2≤f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1≤3…（11分）
由|f（x）-m|＜2得m-2＜f（x）＜m+2…（12分）
∴m-2＜2且m+2＞3，
即1＜m＜4…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二倍角的余弦公式，二倍角的正弦公式，兩角差的正弦公式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)是解答的關(guān)鍵．