Question

（2012•昌平區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過點(diǎn)B（0，1），離心率為

2 2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于M，N兩個不同的點(diǎn)，且使

PM

=

1

2

PN

成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓過點(diǎn)B（0，1），離心率為

2 2

3

，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)

PM

=

1

2

PN

，可得點(diǎn)M為PN的中點(diǎn)，再分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知b=1，

c

a

=

1-( b a )2

=

1- 1 a2

=

2 2

3

，解得a²=9
故橢圓M的方程為

x2

9

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）∵

PM

=

1

2

PN

，∴點(diǎn)M為PN的中點(diǎn)，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 x₂=2x₁①…（5分）
（1）當(dāng)直線的斜率k不存在時，M（0，1），N（0，-1），P（0，2），不符合條件，此時直線方程不存在．…（7分）
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=kx+2
由

y=kx+2 x2 9 +y2=1

，消去y 得（9k²+1）x²+36kx+27=0
由△=（36k）²-4•（9k²+1）•27＞0，解得k2＞

1

3

（*）    …（9分）
x1+x2=-

36k

9k2+1

②，x1x2=

27

9k2+1

③
由①②③可得消去x₁，x₂，可得k2=

3

5

，故k=±

15

5

…（13分）
綜上可知：存在這樣直線l的方程為：y=±

15

5

x+2…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．