Question

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），B（0，1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足①++=,②||=||=||③∥

(1)求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程.

(2)設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），已知∥，∥且·=0.

求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

Answer 1

解：(1)設(shè)C（x,y），∵+=2,由①知=-2,∴G為△ABC的重心，

∴G（,）.

    由②知M是△ABC的外心，∴M在x軸上由③知M（,0）,由||=||得化簡(jiǎn)整理得：+y²=1(x≠0).

(2)F(,0)恰為+y²=1的右焦點(diǎn)設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±,則直線PQ的方程為y=k(x-).

    由

(3k²+1)x²-6k²x+6k²-3=0.設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)則x₁+x₂=,x₁·x₂=.

    則|PQ|=·=·=.

∵PN⊥PQ,把k換成-得|RN|=.

∴S=|PQ|·|RN|==2-.∴3(k²+)+10=.∵k²+≥2,∴≥16，∴≤S＜2,(當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào))又當(dāng)k不存在或k=0時(shí)，S=2.綜上可得≤S≤2.

∴S_max=2,S_min=.