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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知自變量為的函數的極大值點為,為自然對數的底數.

          1)若,證明:有且僅有2個零點;

          2)若,,,為任意正實數,證明:.

          【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析

          【解析】

          1)當時,,求導得,令,再次求導,可判斷單調遞減,又,故上單調遞增;在上單調遞減;求得,再判斷,,結合零點存在定理判斷,有且僅有2個零點;

          (2)對求導可得,又,故可判斷,;,,上單調遞增;在上單調遞減;故,所求問題轉化為,

          ,觀察知為等差乘以等比數列的形式,結合錯位相減法化簡即可求證;

          解:(1)由題知:

          ,令,,

          單調遞減,又∵

          ,,,,

          上單調遞增;在上單調遞減;所以;

          又因為,

          所以,上各恰有零點,即有且僅有2個零點.

          2)由題知

          因此,;,,

          上單調遞增;在上單調遞減;

          因此,

          ,所以,

          ,所以,

          ,

          所以

          所以,

          所以

          因此,即.

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在四棱錐中,為正三角形,四邊形ABCD為直角梯形,//,平面平面ABCD,點EF分別為AD,CP的中點,.

          1)證明:直線//平面PAB

          2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】在直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數方程為為參數),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

          1)若,求直線的極坐標方程;

          2)若直線的斜率為,直線與曲線相交于兩點,點,求的值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】網上購物是用戶使用手機或電腦對所消費的商品或服務進行網絡賬務支付的一種服務方式,外賣、購物、買票等等我們生活的各個方面都可以通過網上來實現,某網絡公司通過隨機問卷調查,得到不同年齡段的網民在網上購物的情況.并從參與調查者中隨機抽取了.經統(tǒng)計得到如下表格:

          年齡()

          頻數

          在網上購物的人數

          若把年齡大于或等于而小于歲的視為青少年,把年齡大于或等于而小于歲的視為中年.把年齡大于或等于歲的視為老年,將頻率視為概率.求:

          1)在青少年,中年,老年中,哪個群休網上購物的概率最大?

          2)現從某市青少年網民(人數眾多)中隨機抽取人,設其中網上購物的人數為.求隨機變量的分布列及期望.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在三棱錐中,,,側面為等邊三角形,側棱.

          1)求證:平面平面;

          2)求三棱錐外接球的體積.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】2019年初,某高級中學教務處為了解該高級中學學生的作文水平,從該高級中學學生某次考試成績中按文科、理科用分層抽樣方法抽取人的成績作為樣本,得到成績頻率分布直方圖如圖所示,,參考的文科生與理科生人數之比為,成績(單位:分)分布在的范圍內且將成績(單位:分)分為,,,,六個部分,規(guī)定成績分數在分以及分以上的作文被評為“優(yōu)秀作文”,成績分數在50分以下的作文被評為“非優(yōu)秀作文”.

          1)求實數的值;

          2)(i)完成下面列聯(lián)表;

          文科生/

          理科生/

          合計

          優(yōu)秀作文

          6

          ______

          ______

          非優(yōu)秀作文

          ______

          ______

          ______

          合計

          ______

          ______

          400

          ii)以樣本數據研究學生的作文水平,能否在犯錯誤的概率不超過的情況下認為獲得“優(yōu)秀作文”與學生的“文理科“有關?

          注:,其中.

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】某調查機構對全國互聯(lián)網行業(yè)進行調查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,90后從事互聯(lián)網行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結論中不正確的是(

          注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.

          A.互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

          B.互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數超過總人數的

          C.互聯(lián)網行業(yè)中從事運營崗位的人數90后比80前多

          D.互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后比80后多

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】某次數學知識比賽中共有6個不同的題目,每位同學從中隨機抽取3個題目進行作答,已知這6個題目中,甲只能正確作答其中的4個,而乙正確作答每個題目的概率均為,且甲、乙兩位同學對每個題目的作答都是相互獨立、互不影響的.

          1)求甲、乙兩位同學總共正確作答3個題目的概率;

          2)若甲、乙兩位同學答對題目個數分別是,,由于甲所在班級少一名學生參賽,故甲答對一題得15分,乙答對一題得10分,求甲乙兩人得分之和的期望.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立.

          (1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率;

          (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量限制,并有如下關系:

          年入流量

          發(fā)電量最多可運行臺數

          1

          2

          3

          若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺?

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